Poster
Jannik Guldmand
2025-05-17
Poster project
Data: Load data
library(st514)
# Indlæsning af data
data("T6-19")
T6.19 <- tbl
T6.19## V1 V2 V3
## 1 271.0 18.50 F
## 2 477.0 82.50 F
## 3 306.3 23.40 F
## 4 365.3 33.50 F
## 5 466.0 69.00 F
## 6 440.7 54.00 F
## 7 315.0 24.97 F
## 8 417.5 56.75 F
## 9 307.3 23.15 F
## 10 319.0 29.51 F
## 11 303.9 19.98 F
## 12 331.7 24.00 F
## 13 435.0 70.37 F
## 14 261.3 15.50 F
## 15 384.8 63.00 F
## 16 360.3 39.00 F
## 17 441.4 53.00 F
## 18 246.7 15.75 F
## 19 365.3 44.00 F
## 20 336.8 30.00 F
## 21 326.7 34.00 F
## 22 312.0 25.00 F
## 23 226.7 9.25 F
## 24 347.4 30.00 F
## 25 280.2 15.25 F
## 26 290.7 21.50 F
## 27 438.6 57.00 F
## 28 377.1 61.50 F
## 29 176.7 3.00 M
## 30 259.5 9.75 M
## 31 258.0 10.07 M
## 32 229.8 7.50 M
## 33 233.0 6.25 M
## 34 237.5 9.85 M
## 35 268.3 10.00 M
## 36 222.5 9.00 M
## 37 186.5 3.75 M
## 38 238.8 9.75 M
## 39 257.6 9.75 M
## 40 172.0 3.00 M
## 41 244.7 10.00 M
## 42 224.7 7.25 M
## 43 231.7 9.25 M
## 44 235.9 7.50 M
## 45 236.5 5.75 M
## 46 247.4 7.75 M
## 47 223.0 5.75 M
## 48 223.7 5.75 M
## 49 212.5 7.65 M
## 50 223.2 7.75 M
## 51 225.0 5.84 M
## 52 228.0 7.53 M
## 53 215.6 5.75 M
## 54 221.0 6.45 M
## 55 236.7 6.49 M
## 56 235.3 6.00 MData: update factorial strings
colnames(T6.19) <- c("Snout Vent Length (cm)", "Weight (kg)", "Gender")
levels(T6.19$Gender) <- c("Female", "Male")
T6.19## Snout Vent Length (cm) Weight (kg) Gender
## 1 271.0 18.50 Female
## 2 477.0 82.50 Female
## 3 306.3 23.40 Female
## 4 365.3 33.50 Female
## 5 466.0 69.00 Female
## 6 440.7 54.00 Female
## 7 315.0 24.97 Female
## 8 417.5 56.75 Female
## 9 307.3 23.15 Female
## 10 319.0 29.51 Female
## 11 303.9 19.98 Female
## 12 331.7 24.00 Female
## 13 435.0 70.37 Female
## 14 261.3 15.50 Female
## 15 384.8 63.00 Female
## 16 360.3 39.00 Female
## 17 441.4 53.00 Female
## 18 246.7 15.75 Female
## 19 365.3 44.00 Female
## 20 336.8 30.00 Female
## 21 326.7 34.00 Female
## 22 312.0 25.00 Female
## 23 226.7 9.25 Female
## 24 347.4 30.00 Female
## 25 280.2 15.25 Female
## 26 290.7 21.50 Female
## 27 438.6 57.00 Female
## 28 377.1 61.50 Female
## 29 176.7 3.00 Male
## 30 259.5 9.75 Male
## 31 258.0 10.07 Male
## 32 229.8 7.50 Male
## 33 233.0 6.25 Male
## 34 237.5 9.85 Male
## 35 268.3 10.00 Male
## 36 222.5 9.00 Male
## 37 186.5 3.75 Male
## 38 238.8 9.75 Male
## 39 257.6 9.75 Male
## 40 172.0 3.00 Male
## 41 244.7 10.00 Male
## 42 224.7 7.25 Male
## 43 231.7 9.25 Male
## 44 235.9 7.50 Male
## 45 236.5 5.75 Male
## 46 247.4 7.75 Male
## 47 223.0 5.75 Male
## 48 223.7 5.75 Male
## 49 212.5 7.65 Male
## 50 223.2 7.75 Male
## 51 225.0 5.84 Male
## 52 228.0 7.53 Male
## 53 215.6 5.75 Male
## 54 221.0 6.45 Male
## 55 236.7 6.49 Male
## 56 235.3 6.00 MaleData: Working with the data
mean(T6.19$"Snout Vent Length (cm)")## [1] 288.5143mean(T6.19$"Weight (kg)")## [1] 22.27696# Variance of x1 (using n divisor)
var(T6.19$"Snout Vent Length (cm)") * (nrow(T6.19) - 1) / nrow(T6.19)## [1] 6084.646# Variance of x2 (using n divisor)
var(T6.19$"Weight (kg)") * (nrow(T6.19) - 1) / nrow(T6.19)## [1] 421.5405# Covariance between x1 and x2 (using n divisor)
cov(T6.19$"Snout Vent Length (cm)", T6.19$"Weight (kg)") * (nrow(T6.19) - 1) / nrow(T6.19)## [1] 1539.699# Correlation between x1 and x2
cor(T6.19$"Snout Vent Length (cm)", T6.19$"Weight (kg)")## [1] 0.9613875# Create a scatterplot with a marginal dot plot for the variables x1 and x2
marginal.dot.plot(T6.19$"Snout Vent Length (cm)", T6.19$"Weight (kg)", xlab = expression("Snout Vent Length (cm) x"[1]), ylab = expression("Weight (kg) x"[2]))
# Variance-covariance matrix:
#create t6.19 nuerical withouht column gender
T6.19_numerical <- T6.19[, 1:2]
#print(round(cov(T6.19_numerical) * (nrow(T6.19) - 1) / nrow(T6.19)),3)
print(round(cov(T6.19_numerical) * (nrow(T6.19) - 1) / nrow(T6.19), digits=3))## Snout Vent Length (cm) Weight (kg)
## Snout Vent Length (cm) 6084.646 1539.699
## Weight (kg) 1539.699 421.540# Find standardafvigelser (kvadratrod af diagonale værdier i varians-kovarians-matrixen)
vcov_matrix <- cov(T6.19_numerical) * (nrow(T6.19) - 1) / nrow(T6.19)
# Træk diagonalen ud (varians for hver variabel), og tag kvadratroden
std_devs <- sqrt(diag(vcov_matrix))
# Udskriv med beskrivende tekst
cat("Standardafvigelser (√varians):\n")## Standardafvigelser (√varians):print(round(std_devs, 2))## Snout Vent Length (cm) Weight (kg)
## 78.00 20.53DATA: Explanatory Data Analysis
# Dimensioner
dim(T6.19)## [1] 56 356 observations and 3 variables
#Variabeltyper
str(T6.19)## 'data.frame': 56 obs. of 3 variables:
## $ Snout Vent Length (cm): num 271 477 306 365 466 ...
## $ Weight (kg) : num 18.5 82.5 23.4 33.5 69 ...
## $ Gender : Factor w/ 2 levels "Female","Male": 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...#Sammendrag
summary(T6.19)## Snout Vent Length (cm) Weight (kg) Gender
## Min. :172.0 Min. : 3.00 Female:28
## 1st Qu.:229.3 1st Qu.: 7.50 Male :28
## Median :258.8 Median :10.04
## Mean :288.5 Mean :22.28
## 3rd Qu.:333.0 3rd Qu.:30.00
## Max. :477.0 Max. :82.50EDA: Søjlediagram
library(dplyr)##
## Attaching package: 'dplyr'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## filter, lag## The following objects are masked from 'package:base':
##
## intersect, setdiff, setequal, unionlibrary(tidyr)
library(ggplot2)
# Tilføj et unikt ID til hver observation
T6.19_obs <- T6.19 %>%
mutate(Obs = paste0("Obs", row_number()))
# Gør dataen lang for Snout og Weight
T6.19_long <- T6.19_obs %>%
dplyr::select(`Obs`, `Gender`, `Snout Vent Length (cm)`, `Weight (kg)`) %>%
pivot_longer(cols = c(`Snout Vent Length (cm)`, `Weight (kg)`),
names_to = "Variable", values_to = "Value")
# Standardiser variabelnavne lidt for pænere labels
library(stringr)
T6.19_long$Variable <- str_replace_all(T6.19_long$Variable,
c("Snout Vent Length \\(cm\\)" = "Snout Length",
"Weight \\(kg\\)" = "Weight"))
# Plot: Hver søjle er én observation
ggplot(T6.19_long, aes(x = Obs, y = Value, fill = Gender)) +
geom_bar(stat = "identity") +
facet_wrap(~ Variable, scales = "free_y") +
labs(
title = "Snout Length og Weight for alle observationer",
x = "Observationer", y = "Værdi"
) +
scale_fill_manual(values = c("Female" = "#F8766D", "Male" = "#619CFF")) +
theme_minimal() +
theme(axis.text.x = element_blank(), axis.ticks.x = element_blank())
library(dplyr)
library(tidyr)
library(ggplot2)
library(stringr)
# Tilføj numerisk ID og behold som karakter for rækkefølge
T6.19_obs <- T6.19 %>%
mutate(Obs = row_number())
# Gør data lang
T6.19_long <- T6.19_obs %>%
dplyr::select(Obs, Gender, `Snout Vent Length (cm)`, `Weight (kg)`) %>%
pivot_longer(cols = c(`Snout Vent Length (cm)`, `Weight (kg)`),
names_to = "Variable", values_to = "Value")
# Standardiser navne
T6.19_long$Variable <- str_replace_all(T6.19_long$Variable,
c("Snout Vent Length \\(cm\\)" = "Snout Length",
"Weight \\(kg\\)" = "Weight"))
# Gør Obs til faktor for rækkefølge
T6.19_long$Obs <- factor(T6.19_long$Obs, levels = 1:56)
# Kombiner observation og variabel til unik bar (bruges ikke i plot her men gemmes til evt. brug)
T6.19_long$ObsVar <- interaction(T6.19_long$Obs, T6.19_long$Variable, sep = "_")
# Plot begge variabler som separate søjler i ét diagram
ggplot(T6.19_long, aes(x = Obs, y = Value, fill = Gender)) +
geom_bar(stat = "identity", position = position_dodge(width = 0.9), aes(group = Variable)) +
labs(
title = "Snout Length og Weight pr. observation",
x = "Observation", y = "Værdi"
) +
scale_fill_manual(values = c("Female" = "#F8766D", "Male" = "#619CFF")) +
theme_minimal()
library(dplyr)
library(tidyr)
library(ggplot2)
# Beregn gennemsnit for hver kombination af variabel og køn
T6.19_means <- T6.19 %>%
group_by(Gender) %>%
summarise(
Snout = mean(`Snout Vent Length (cm)`),
Weight = mean(`Weight (kg)`)
) %>%
pivot_longer(cols = c(Snout, Weight), names_to = "Variable", values_to = "Mean")
# Plot
ggplot(T6.19_means, aes(x = Gender, y = Mean, fill = Variable)) +
geom_bar(stat = "identity", position = "dodge") +
labs(
title = "Gennemsnitlig Snout Length og Weight fordelt på køn",
x = "Køn", y = "Gennemsnitlig værdi"
) +
scale_fill_manual(values = c("Snout" = "#619CFF", "Weight" = "#F8766D")) +
theme_minimal()
# Scatterplot of length and weight given gender=female
## Scatterplot: Females only
T6.19_female <- subset(T6.19, Gender == "Female")
plot(T6.19_female$`Snout Vent Length (cm)`, T6.19_female$`Weight (kg)`,
xlab = expression("Snout Vent Length (cm) x"[1]),
ylab = expression("Weight (kg) x"[2]),
main = "Scatterplot of Female Anacondas",
pch = 19, col = "darkred")
## Scatterplot: Males only
T6.19_male <- subset(T6.19, Gender == "Male")
plot(T6.19_male$`Snout Vent Length (cm)`, T6.19_male$`Weight (kg)`,
xlab = expression("Snout Vent Length (cm) x"[1]),
ylab = expression("Weight (kg) x"[2]),
main = "Scatterplot of Male Anacondas",
pch = 19, col = "darkblue")
plot(T6.19$`Snout Vent Length (cm)`, T6.19$`Weight (kg)`,
xlab = expression("Snout Vent Length (cm) x"[1]),
ylab = expression("Weight (kg) x"[2]),
xlim = c(0, 500),
ylim = c(0, 100),
main = "Scatterplot by Gender",
pch = 19,
col = ifelse(T6.19$Gender == "Female", "darkred", "darkblue"))
grid()
legend("topleft", legend = c("Female", "Male"),
col = c("darkred", "darkblue"), pch = 19)
#Mean vector
print(colMeans(T6.19_numerical, na.rm = TRUE), digits = 5)## Snout Vent Length (cm) Weight (kg)
## 288.514 22.277# colMeans of T6.19 where gender=female
# Column means for females
T6.19_female <- subset(T6.19, Gender == "Female")
T6.19_female_numerical <- T6.19_female[, 1:2]
print(colMeans(T6.19_female_numerical, na.rm = TRUE), digits = 5)## Snout Vent Length (cm) Weight (kg)
## 348.275 37.264# colMeans of T6.19 where gender=male
# Column means for males
T6.19_male <- subset(T6.19, Gender == "Male")
T6.19_male_numerical <- T6.19_male[, 1:2]
print(colMeans(T6.19_male_numerical, na.rm = TRUE), digits = 5)## Snout Vent Length (cm) Weight (kg)
## 228.7536 7.2904#correlation matrix
print(cor(T6.19_numerical))## Snout Vent Length (cm) Weight (kg)
## Snout Vent Length (cm) 1.0000000 0.9613875
## Weight (kg) 0.9613875 1.0000000Pairsplot
pairs(T6.19[, 1:2],
main = "Scatterplot Matrix: Length and Weight",
pch = 21,
bg = c("lightpink", "lightblue")[T6.19$Gender])
#pairs(T6.19_numerical, diag.panel = panel.boxplot, labels = "")
pairs(T6.19_numerical,
diag.panel = panel.boxplot,
labels = c("Snout Length", "Weight"),
main = "Scatterplot Matrix: Length and Weight")## Warning in par(usr): argument 1 does not name a graphical parameter
## Warning in par(usr): argument 1 does not name a graphical parameter
# Calculate correlation coefficient
cat("Correlation coefficient:", cor(T6.19$"Snout Vent Length (cm)", T6.19$"Weight (kg)"), "\n")## Correlation coefficient: 0.9613875# Calculate correlation coefficient
cat("Correlation coefficient:", cor(T6.19$"Weight (kg)", T6.19$"Snout Vent Length (cm)"), "\n")## Correlation coefficient: 0.9613875# Plot af data
plot(T6.19_numerical,
xlim = c(0, 500),
ylim = c(0, 100),
main = "Scatterplot med stikprøvegennemsnit",
xlab = "Snout Vent Length (cm) x1", ylab = "Weight (kg) x2", pch = 16)
grid()
# Beregning af stikprøvegennemsnit
x_bar <- colMeans(T6.19_numerical)
#x_bar
# Tilføj stikprøvegennemsnit til plot
points(x_bar[1], x_bar[2], pch = "X", col = "red", cex = 2)
# Tilføj en forklaring
legend("topleft",
legend = c("56 Observationer", "Stikprøvegennemsnit"),
pch = c(16, 4),
col = c("black", "red"),
pt.lwd = c(1, 3))
# Vis stikprøvegennemsnittet
cat("Stikprøvegennemsnittet er:", x_bar, "\n")## Stikprøvegennemsnittet er: 288.5143 22.27696# Udtræk data
Xf <- T6.19[T6.19$Gender == "Female", 1:2]
Xm <- T6.19[T6.19$Gender == "Male", 1:2]
n1 <- nrow(Xf); n2 <- nrow(Xm)
xbar1 <- colMeans(Xf)
xbar2 <- colMeans(Xm)
diff_mean <- xbar1 - xbar2
# Pooled kovariansmatrix
S1 <- cov(Xf); S2 <- cov(Xm)
Spooled <- ((n1 - 1)*S1 + (n2 - 1)*S2)/(n1 + n2 - 2)
# Egenværdier og egenvektorer
eig <- eigen(Spooled)
lambda <- eig$values # egenværdier
vectors <- eig$vectors # egenvektorer
# Parametre for ellipse
alpha <- 0.05
p <- 2
n <- (n1 * n2) / (n1 + n2)
T2_crit <- ((n1 + n2 - 2) * p / (n1 + n2 - p - 1)) * qf(1 - alpha, p, n1 + n2 - p - 1)
# Generér ellipsepunkter
theta <- seq(0, 2*pi, length = 100)
circle <- rbind(cos(theta), sin(theta))
scaling <- sqrt(T2_crit / n) * sqrt(lambda)
ellipse_points <- t(vectors %*% diag(scaling) %*% circle + diff_mean)
# Plot
plot(ellipse_points, type = "l", asp = 1, lwd = 2,
xlab = "Snout Vent Length (cm)", ylab = "Weight (kg)",
main = "Hotelling’s T² Ellipse (uden ellipse-pakke)")
points(0, 0, pch = 4, col = "red")
text(0, 0, "0", pos = 1, cex = 0.8)
points(diff_mean[1], diff_mean[2], pch = 19, col = "blue")
text(diff_mean[1], diff_mean[2], "M1 - M2", pos = 4, cex = 0.8)
# Beregn generaliseret stikprøvevarians for Spooled matrix
Xf <- T6.19[T6.19$Gender == "Female", 1:2]
Xm <- T6.19[T6.19$Gender == "Male", 1:2]
n1 <- nrow(Xf); n2 <- nrow(Xm)
S1 <- cov(Xf); S2 <- cov(Xm)
Spooled <- ((n1 - 1)*S1 + (n2 - 1)*S2)/(n1 + n2 - 2)
# Determinant = generaliseret varians
gen_var <- det(Spooled)
cat("Generaliseret stikprøvevarians (|S|):", round(gen_var, 2))## Generaliseret stikprøvevarians (|S|): 86170.38Test for normalitet (før hypotesetests)
1.1 Univariate normalitetstest (marginal):
Brug Q–Q plot for hver af de to variable (Snout Vent Length og Weight).
F.eks. som i Øvelse 5.4.B.1.2 Multivariat normalitetstest:
Brug Q–Q plot for Mahalanobis afstande mod kvantilfunktion for χ² (chi-square plot).
F.eks. baseret på procedure i bogens Kapitel 4, Ex. 4.13 og Resultat 4.7# Lav Q-Q plots for hver af de tre variable
par(mfrow = c(2, 2))
for (i in 1:p) {
qqnorm(T6.19_numerical[,i], main = colnames(T6.19_numerical)[i])
qqline(T6.19_numerical[,i])
}
# Beregn Mahalanobis-afstandene
Sx <- cov(T6.19_numerical)
D2 <- mahalanobis(T6.19_numerical, colMeans(T6.19_numerical), Sx)
# Lav et chi-i-anden Q-Q plot for multivariate normalitet
qqplot(qchisq(ppoints(n, a = 0.5), df = p), D2,
ylab = "Mahalanobis afstande",
xlab = bquote("Kvantiler af " ~ chi[.(p)]^2),
main = bquote("Q-Q plot af Mahalanobis" * ~ D^2 *
" vs. kvantiler af" * ~ chi[.(p)]^2))
abline(0, 1)
library(MASS)##
## Attaching package: 'MASS'## The following object is masked from 'package:dplyr':
##
## selectlibrary(car) # til powerTransform## Loading required package: carData##
## Attaching package: 'car'## The following object is masked from 'package:dplyr':
##
## recode# Antal observationer og dimensioner
n <- nrow(T6.19_numerical)
p <- ncol(T6.19_numerical)
# Box-Cox transformationer
pt_result <- powerTransform(T6.19_numerical)
lambda_vec <- pt_result$lambda
print(lambda_vec)## Snout Vent Length (cm) Weight (kg)
## -0.49978201 -0.03326786# Transformer hver variabel
T6.19_transformed <- as.data.frame(
sapply(1:p, function(i) {
lambda <- lambda_vec[i]
x <- T6.19_numerical[, i]
if (lambda == 0) log(x) else (x^lambda - 1) / lambda
})
)
colnames(T6.19_transformed) <- colnames(T6.19_numerical)
# Plot QQ-plots for de transformerede variable
par(mfrow = c(2, 2))
for (i in 1:p) {
qqnorm(T6.19_transformed[, i],
main = paste("Q-Q plot (transformeret):", colnames(T6.19_transformed)[i]))
qqline(T6.19_transformed[, i])
}
# Mahalanobis-afstande (baseret på transformerede data)
Sx <- cov(T6.19_transformed)
D2 <- mahalanobis(T6.19_transformed, colMeans(T6.19_transformed), Sx)
# Q-Q plot af Mahalanobis afstande vs. chi^2
qqplot(qchisq(ppoints(n, a = 0.5), df = p), D2,
ylab = expression("Mahalanobis afstande"),
xlab = bquote("Kvantiler af " ~ chi[.(p)]^2),
main = bquote("Q-Q plot af Mahalanobis" * ~ D^2 * " (transformeret)"))
abline(0, 1)
.
2. Univariate inferens (T-tests)
2. Univariate analyser
- T-test for:
# Univariate t-tests for Snout Vent Length og Weight mod Gender
# Antag at køn er korrekt kodet som faktor med levels: Female, Male
T6.19$Gender <- factor(T6.19$Gender, levels = c("Female", "Male"))- længde vs. køn
# T-test for Snout Vent Length (cm) mellem køn
t_snout <- t.test(`Snout Vent Length (cm)` ~ Gender, data = T6.19, var.equal = TRUE)
#var.equal = TRUE bruges her i tråd med forudsætningen fra tidligere øvelser, hvor vi antager lig varians ved sammenligninger af grupper.
print(t_snout)##
## Two Sample t-test
##
## data: Snout Vent Length (cm) by Gender
## t = 8.7597, df = 54, p-value = 0.000000000005976
## alternative hypothesis: true difference in means between group Female and group Male is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## 92.16599 146.87687
## sample estimates:
## mean in group Female mean in group Male
## 348.2750 228.7536✅ Korrekt fortolkning:
H₀ (nulhypotese): Der er ingen forskel i gennemsnitlig snout length mellem han- og hun-anacondaer.
H₁ (alternativ hypotese): Der er en forskel i gennemsnitlig snout length mellem kønnene.📌 Resultat:
P-værdien er ekstremt lille (≈ 5.98e-12), dvs. langt under den typiske signifikansgrænse (α = 0.05).
Derfor forkaster vi H₀: Der er statistisk evidens for, at snout length afhænger af køn.
Konfidensintervallet [92.17, 146.88][92.17, 146.88] indeholder ikke nul, hvilket styrker denne konklusion.
Hun-anacondaer (♀) har i gennemsnit ca. 120 cm længere snout end hanner (♂).❗ Korrigeret fortolkning:
"Da p-værdien er meget lav (<< 0.05), forkastes H₀. Der er altså en statistisk signifikant forskel i snout length mellem hun- og han-anacondaer. Det tyder på, at snout length afhænger af køn."💥 OBS: Din formulering “H0 hypotesen ikke forkastes baseret på lav p-værdi” er forkert — lav p-værdi betyder netop, at vi forkaster H₀.
- vægt vs. køn
# T-test for Weight (kg) mellem køn
t_weight <- t.test(`Weight (kg)` ~ Gender, data = T6.19, var.equal = TRUE)
#var.equal = TRUE bruges her i tråd med forudsætningen fra tidligere øvelser, hvor vi antager lig varians ved sammenligninger af grupper.
print(t_weight)##
## Two Sample t-test
##
## data: Weight (kg) by Gender
## t = 7.8475, df = 54, p-value = 0.0000000001739
## alternative hypothesis: true difference in means between group Female and group Male is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
## 22.31565 37.63078
## sample estimates:
## mean in group Female mean in group Male
## 37.263571 7.290357✅ Korrekt fortolkning:
H₀ (nulhypotese): Der er ingen forskel i gennemsnitlig vægt mellem kønnene.
H₁ (alternativ hypotese): Der er forskel i gennemsnitlig vægt mellem kønnene.📌 Resultat:
P-værdien er ekstremt lav (≈ 1.74e-10), altså klart under 0.05 → forkast H₀.
Der er statistisk belæg for, at køn har stor betydning for vægt.
Konfidensintervallet viser, at hunner vejer 22–38 kg mere end hanner i gennemsnit.❗ Korrigeret fortolkning:
"P-værdien er meget lav, hvilket betyder, at vi forkaster H₀. Der er statistisk signifikant forskel i vægt mellem køn. Vægten afhænger af køn, og hun-anacondaer vejer gennemsnitligt betydeligt mere."(Sammenfatning)
✅ Samlet konklusion:
Test p-værdi H₀ forkastes? Fortolkning Snout Length ~ Gender 5.98e-12 Ja Snout length afhænger af køn Weight ~ Gender 1.74e-10 Ja Vægt afhænger af køn
📊 Tabel til posteren (Univariate T-tests)
| Variabel | Middelværdi (♀) | Middelværdi (♂) | T-værdi | P-værdi | 95% CI for forskel | Konklusion |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Snout Length (cm) | 348.28 | 228.75 | 8.76 | < 0.000000000006 | [92.17, 146.88] | Signifikant forskel. Afhænger af køn. |
| Weight (kg) | 37.26 | 7.29 | 7.85 | < 0.000000000174 | [22.32, 37.63] | Signifikant forskel. Afhænger af køn. |
🧾 Noter til posteren (fortolkning og forklaring):
Univariate T-tests blev udført for hver af de to variable:
Snout Length (cm) og Weight (kg) fordelt på køn (♀ vs ♂).
Begge tests viser ekstremt lave p-værdier (<< 0.05), hvilket betyder, at vi forkaster nulhypotesen.🟢 Fortolkning:
Der er statistisk signifikant forskel i både længde og vægt mellem hun- og han-anacondaer.
Hun-anacondaer har i gennemsnit 120 cm længere snout og 30 kg højere vægt end hanner.
Disse forskelle er ikke blot statistisk signifikante, men også biologisk relevante.
📦 Boxplots for Snout Length og Weight fordelt på køn
library(ggplot2)
library(tidyr)
library(dplyr)
# Gør data lang
T6.19_long <- T6.19 %>%
dplyr::select(Gender, `Snout Vent Length (cm)`, `Weight (kg)`) %>%
pivot_longer(cols = -Gender, names_to = "Variable", values_to = "Value")
# Standardiser labels
T6.19_long$Variable <- gsub("Snout Vent Length \\(cm\\)", "Snout Length", T6.19_long$Variable)
T6.19_long$Variable <- gsub("Weight \\(kg\\)", "Weight", T6.19_long$Variable)
# Boxplot
ggplot(T6.19_long, aes(x = Gender, y = Value, fill = Gender)) +
geom_boxplot(alpha = 0.7) +
facet_wrap(~ Variable, scales = "free_y") +
labs(
title = "Boxplots af Snout Length og Weight fordelt på køn",
x = "Køn", y = "Værdi"
) +
scale_fill_manual(values = c("Female" = "#F8766D", "Male" = "#619CFF")) +
theme_minimal()
# Violinplot
ggplot(T6.19_long, aes(x = Gender, y = Value, fill = Gender)) +
geom_violin(trim = FALSE, alpha = 0.6, bw = 10) + # Juster bw (bandwidth)
geom_boxplot(width = 0.1, fill = "white", outlier.shape = NA) +
facet_wrap(~ Variable, scales = "free_y") +
labs(
title = "Violinplots af Snout Length og Weight fordelt på køn",
x = "Køn", y = "Værdi"
) +
scale_fill_manual(values = c("Female" = "#F8766D", "Male" = "#619CFF")) +
theme_minimal()
ggplot(T6.19_long, aes(x = Gender, y = Value, fill = Gender)) +
geom_violin(trim = FALSE, scale = "count", alpha = 0.6) +
geom_boxplot(width = 0.1, fill = "white", outlier.shape = NA) +
facet_wrap(~ Variable, scales = "free_y") +
labs(
title = "Violinplots af Snout Length og Weight fordelt på køn",
x = "Køn", y = "Værdi"
) +
scale_fill_manual(values = c("Female" = "#F8766D", "Male" = "#619CFF")) +
theme_minimal()
# Violinplot: Snout Length
ggplot(T6.19, aes(x = Gender, y = `Snout Vent Length (cm)`, fill = Gender)) +
geom_violin(trim = FALSE, alpha = 0.6) +
geom_boxplot(width = 0.1, fill = "white", outlier.shape = NA) +
labs(
title = "Violin Plot: Snout Length by Gender",
x = "Gender", y = "Snout Length (cm)"
) +
scale_fill_manual(values = c("Female" = "#F8766D", "Male" = "#619CFF")) +
theme_minimal()
# Violinplot: Weight
ggplot(T6.19, aes(x = Gender, y = `Weight (kg)`, fill = Gender)) +
geom_violin(trim = FALSE, alpha = 0.6) +
geom_boxplot(width = 0.1, fill = "white", outlier.shape = NA) +
labs(
title = "Violin Plot: Weight by Gender",
x = "Gender", y = "Weight (kg)"
) +
scale_fill_manual(values = c("Female" = "#F8766D", "Male" = "#619CFF")) +
theme_minimal()
# Pakker
library(ggplot2)
library(dplyr)
# Plot 1: Snout Length by Gender
ggplot(T6.19, aes(x = Gender, y = `Snout Vent Length (cm)`, fill = Gender)) +
geom_violin(trim = FALSE, alpha = 0.6) +
geom_boxplot(width = 0.1, fill = "white", outlier.shape = NA) +
labs(
title = "Violin Plot: Snout Length by Gender",
x = "Gender",
y = "Snout Length (cm)"
) +
scale_fill_manual(values = c("Female" = "#F8766D", "Male" = "#619CFF")) +
theme_minimal()
# Plot 2: Weight by Gender
ggplot(T6.19, aes(x = Gender, y = `Weight (kg)`, fill = Gender)) +
geom_violin(trim = FALSE, alpha = 0.6) +
geom_boxplot(width = 0.1, fill = "white", outlier.shape = NA) +
labs(
title = "Violin Plot: Weight by Gender",
x = "Gender",
y = "Weight (kg)"
) +
scale_fill_manual(values = c("Female" = "#F8766D", "Male" = "#619CFF")) +
theme_minimal()
- Bruges til at supplere konklusionen fra multivariat test ————————————————————–
2.B Geometrisk forståelse af kovarians og korrelation (frivillig sektion)
# Udvælg de første 3 observationer (uanset køn)
X <- as.matrix(T6.19[1:3, 1:2]) # 3x2 matrix (Snout, Weight)
# Beregn middelvektor (kolonnegennemsnit)
x_bar <- colMeans(X)
# Lav 1-vektor
Ones <- rep(1, nrow(X))
# Beregn afvigelsesmatrix: Y = X - 1 * x_bar^T
Y <- X - Ones %*% t(x_bar)
# Udtræk kolonnerne som vektorer
Y1 <- Y[,1] # Snout
Y2 <- Y[,2] # Weight
# Beregn længder
Ly1 <- sqrt(sum(Y1^2))
Ly2 <- sqrt(sum(Y2^2))
# Beregn cosinus og vinkel
costh <- sum(Y1 * Y2) / (Ly1 * Ly2)
ang <- acos(costh) * 180 / pi
# Varians, kovarians og korrelation
s11 <- sum(Y1^2) / nrow(X)
s22 <- sum(Y2^2) / nrow(X)
s12 <- sum(Y1 * Y2) / nrow(X)
r12 <- s12 / sqrt(s11 * s22)
# Print resultater
cat("Afvigelsesvektorer for Anaconda-data (første 3 rækker):\n\n")## Afvigelsesvektorer for Anaconda-data (første 3 rækker):cat("Længde af afvigelsesvektor Snout:", Ly1, "\n")## Længde af afvigelsesvektor Snout: 155.7996cat("Længde af afvigelsesvektor Weight:", Ly2, "\n")## Længde af afvigelsesvektor Weight: 50.37466cat("Cosinus til vinkel mellem vektorer:", costh, "\n")## Cosinus til vinkel mellem vektorer: 0.9957646cat("Vinkel mellem vektorer (grader):", ang, "\n\n")## Vinkel mellem vektorer (grader): 5.275185cat("Varians af Snout:", s11, "\n")## Varians af Snout: 8091.176cat("Varians af Weight:", s22, "\n")## Varians af Weight: 845.8689cat("Kovarians:", s12, "\n")## Kovarians: 2605.038cat("Korrelationskoefficient:", r12, "\n")## Korrelationskoefficient: 0.9957646# Udtræk de første 3 observationer (Snout og Weight)
X <- as.matrix(T6.19[1:3, 1:2])
x_bar <- colMeans(X)
Ones <- rep(1, 3)
# Afvigelsesmatrix: Y = X - 1 * x_bar^T
Y <- X - Ones %*% t(x_bar)
# Udtræk kolonner
Y1 <- Y[,1] # Snout
Y2 <- Y[,2] # Weight
# Plot setup
plot(NA, xlim = range(c(0, Y1)), ylim = range(c(0, Y2)),
xlab = "Snout deviation", ylab = "Weight deviation",
main = "Afvigelsesvektorer fra origo (2D)", asp = 1)
grid()
# Tegn vektorer fra origo (0,0)
arrows(0, 0, Y1[1], Y2[1], col = "red", lwd = 2)
arrows(0, 0, Y1[2], Y2[2], col = "blue", lwd = 2)
arrows(0, 0, Y1[3], Y2[3], col = "darkgreen", lwd = 2)
# Tilføj labels
text(Y1[1], Y2[1], labels = "Y1", pos = 4, col = "red")
text(Y1[2], Y2[2], labels = "Y2", pos = 4, col = "blue")
text(Y1[3], Y2[3], labels = "Y3", pos = 4, col = "darkgreen")
3. Dekomponering af snout og vægt
# Udtræk de første 5 observationer for hver køn
T6.19_5females <- T6.19[T6.19$Gender == "Female", ][1:5, 1:2]
T6.19_5males <- T6.19[T6.19$Gender == "Male", ][1:5, 1:2]
# Kombiner i én matrix (2 rækker, 5 kolonner pr variabel)
snout_matrix <- rbind(
T6.19_5males$`Snout Vent Length (cm)`,
T6.19_5females$`Snout Vent Length (cm)`
)
rownames(snout_matrix) <- c("Male", "Female")
weight_matrix <- rbind(
T6.19_5males$`Weight (kg)`,
T6.19_5females$`Weight (kg)`
)
rownames(weight_matrix) <- c("Male", "Female")
# Midler
snout_mean <- matrix(rep(mean(snout_matrix), 10), nrow = 2, byrow = TRUE)
rownames(snout_mean) <- c("Male", "Female")
weight_mean <- matrix(rep(mean(weight_matrix), 10), nrow = 2, byrow = TRUE)
rownames(weight_mean) <- c("Male", "Female")
# Treatment effect
snout_group_means <- matrix(c(rep(mean(snout_matrix[1, ]), 5),
rep(mean(snout_matrix[2, ]), 5)),
nrow = 2, byrow = TRUE)
rownames(snout_group_means) <- c("Male", "Female")
snout_treatment <- snout_group_means - snout_mean
rownames(snout_treatment) <- c("Male", "Female")
weight_group_means <- matrix(c(rep(mean(weight_matrix[1, ]), 5),
rep(mean(weight_matrix[2, ]), 5)),
nrow = 2, byrow = TRUE)
rownames(weight_group_means) <- c("Male", "Female")
weight_treatment <- weight_group_means - weight_mean
rownames(weight_treatment) <- c("Male", "Female")
# Residual
snout_residual <- snout_matrix - snout_group_means
rownames(snout_residual) <- c("Male", "Female")
weight_residual <- weight_matrix - weight_group_means
rownames(weight_residual) <- c("Male", "Female")
# Vis resultat for Snout
cat("Snout Vent Length:\n\n")## Snout Vent Length:cat("Original data:\n"); print(snout_matrix)## Original data:## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## Male 176.7 259.5 258.0 229.8 233
## Female 271.0 477.0 306.3 365.3 466cat("\nMean component:\n"); print(snout_mean)##
## Mean component:## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## Male 304.26 304.26 304.26 304.26 304.26
## Female 304.26 304.26 304.26 304.26 304.26cat("\nTreatment effect:\n"); print(snout_treatment)##
## Treatment effect:## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## Male -72.86 -72.86 -72.86 -72.86 -72.86
## Female 72.86 72.86 72.86 72.86 72.86cat("\nResidual:\n"); print(snout_residual)##
## Residual:## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## Male -54.70 28.10 26.60 -1.60 1.60
## Female -106.12 99.88 -70.82 -11.82 88.88# Vis resultat for Weight
cat("\n\nWeight:\n\n")##
##
## Weight:cat("Original data:\n"); print(weight_matrix)## Original data:## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## Male 3.0 9.75 10.07 7.5 6.25
## Female 18.5 82.50 23.40 33.5 69.00cat("\nMean component:\n"); print(weight_mean)##
## Mean component:## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## Male 26.347 26.347 26.347 26.347 26.347
## Female 26.347 26.347 26.347 26.347 26.347cat("\nTreatment effect:\n"); print(weight_treatment)##
## Treatment effect:## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## Male -19.033 -19.033 -19.033 -19.033 -19.033
## Female 19.033 19.033 19.033 19.033 19.033cat("\nResidual:\n"); print(weight_residual)##
## Residual:## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## Male -4.314 2.436 2.756 0.186 -1.064
## Female -26.880 37.120 -21.980 -11.880 23.620# Som plot
library(tidyr)
library(dplyr)
library(ggplot2)
# ID og køn
ID <- paste0("Obs", 1:10)
Gender <- c(rep("Male", 5), rep("Female", 5))
# Rækkefølgebevarende faktor
ID <- factor(ID, levels = paste0("Obs", 1:10))
# ----- Snout -----
df_snout <- data.frame(
ID = ID,
Gender = Gender,
Mean = as.vector(snout_mean),
Treatment = as.vector(snout_treatment),
Residual = as.vector(snout_residual)
) %>%
pivot_longer(cols = c("Mean", "Treatment", "Residual"),
names_to = "Component", values_to = "Value")
# ----- Weight -----
df_weight <- data.frame(
ID = ID,
Gender = Gender,
Mean = as.vector(weight_mean),
Treatment = as.vector(weight_treatment),
Residual = as.vector(weight_residual)
) %>%
pivot_longer(cols = c("Mean", "Treatment", "Residual"),
names_to = "Component", values_to = "Value")
# ----- Plot Snout -----
ggplot(df_snout, aes(x = ID, y = Value, fill = Component)) +
geom_bar(stat = "identity") +
ggtitle("Dekomponering af Snout (Length)") +
ylab("cm") +
theme_minimal()
# ----- Plot Weight -----
ggplot(df_weight, aes(x = ID, y = Value, fill = Component)) +
geom_bar(stat = "identity") +
ggtitle("Dekomponering af Weight") +
ylab("kg") +
theme_minimal()
library(tidyr)
library(dplyr)
library(ggplot2)
# ID og køn
ID <- paste0("Obs", 1:10)
Gender <- c(rep("Male", 5), rep("Female", 5))
ID <- factor(ID, levels = paste0("Obs", 1:10)) # Rækkefølge
# ----- Snout -----
df_snout <- data.frame(
ID = ID,
Gender = Gender,
Mean = as.vector(snout_mean),
Treatment = as.vector(snout_treatment),
Residual = as.vector(snout_residual)
) %>%
pivot_longer(cols = c("Mean", "Treatment", "Residual"),
names_to = "Component", values_to = "Value") %>%
mutate(Component = factor(Component, levels = c("Mean", "Treatment", "Residual")))
# ----- Weight -----
df_weight <- data.frame(
ID = ID,
Gender = Gender,
Mean = as.vector(weight_mean),
Treatment = as.vector(weight_treatment),
Residual = as.vector(weight_residual)
) %>%
pivot_longer(cols = c("Mean", "Treatment", "Residual"),
names_to = "Component", values_to = "Value") %>%
mutate(Component = factor(Component, levels = c("Mean", "Treatment", "Residual")))
# ----- Plot Snout -----
ggplot(df_snout, aes(x = ID, y = Value, fill = Component)) +
geom_bar(stat = "identity") +
geom_text(aes(label = round(Value, 1)),
position = position_stack(vjust = 0.5),
size = 3, color = "black") +
scale_fill_manual(values = c("Mean" = "#F8766D", "Treatment" = "#619CFF", "Residual" = "#00BA38")) +
ggtitle("Dekomponering af Snout (Length)") +
ylab("cm") +
theme_minimal()
# ----- Plot Weight -----
ggplot(df_weight, aes(x = ID, y = Value, fill = Component)) +
geom_bar(stat = "identity") +
geom_text(aes(label = round(Value, 1)),
position = position_stack(vjust = 0.5),
size = 3, color = "black") +
scale_fill_manual(values = c("Mean" = "#F8766D", "Treatment" = "#619CFF", "Residual" = "#00BA38")) +
ggtitle("Dekomponering af Weight") +
ylab("kg") +
theme_minimal()
# Tilføj Gender label
gender <- c(rep("Female", 5), rep("Male", 5))
# Dataframes til snout
df_snout <- data.frame(
ID = factor(paste0("Obs", 1:10), levels = paste0("Obs", 1:10)),
Gender = gender,
Mean = as.vector(snout_mean),
Treatment = as.vector(snout_treatment),
Residual = as.vector(snout_residual)
) %>%
pivot_longer(cols = c("Mean", "Treatment", "Residual"),
names_to = "Component", values_to = "Value")
# Dataframes til weight
df_weight <- data.frame(
ID = factor(paste0("Obs", 1:10), levels = paste0("Obs", 1:10)),
Gender = gender,
Mean = as.vector(weight_mean),
Treatment = as.vector(weight_treatment),
Residual = as.vector(weight_residual)
) %>%
pivot_longer(cols = c("Mean", "Treatment", "Residual"),
names_to = "Component", values_to = "Value")
# ----- Plot Snout (med køn i farve) -----
ggplot(df_snout, aes(x = ID, y = Value, fill = Component)) +
geom_bar(stat = "identity") +
facet_wrap(~Gender, scales = "free_x") +
ggtitle("Dekomponering af Snout (Length) opdelt efter køn") +
ylab("cm") +
theme_minimal()
# ----- Plot Weight (med køn i farve) -----
ggplot(df_weight, aes(x = ID, y = Value, fill = Component)) +
geom_bar(stat = "identity") +
facet_wrap(~Gender, scales = "free_x") +
ggtitle("Dekomponering af Weight opdelt efter køn") +
ylab("kg") +
theme_minimal()
library(tidyr)
library(dplyr)
library(ggplot2)
# Tilføj Gender label
gender <- c(rep("Female", 5), rep("Male", 5))
ID <- factor(paste0("Obs", 1:10), levels = paste0("Obs", 1:10))
# ---- SNOUT ----
df_snout <- data.frame(
ID = ID,
Gender = gender,
Mean = as.vector(snout_mean),
Treatment = as.vector(snout_treatment),
Residual = as.vector(snout_residual)
) %>%
pivot_longer(cols = c("Mean", "Treatment", "Residual"),
names_to = "Component", values_to = "Value") %>%
mutate(Component = factor(Component, levels = c("Mean", "Treatment", "Residual")))
# ---- WEIGHT ----
df_weight <- data.frame(
ID = ID,
Gender = gender,
Mean = as.vector(weight_mean),
Treatment = as.vector(weight_treatment),
Residual = as.vector(weight_residual)
) %>%
pivot_longer(cols = c("Mean", "Treatment", "Residual"),
names_to = "Component", values_to = "Value") %>%
mutate(Component = factor(Component, levels = c("Mean", "Treatment", "Residual")))
# ---- Farver ----
custom_colors <- c("Mean" = "#F8766D", "Treatment" = "#619CFF", "Residual" = "#00BA38")
# ---- Plot SNOUT ----
ggplot(df_snout, aes(x = ID, y = Value, fill = Component)) +
geom_bar(stat = "identity") +
geom_text(aes(label = round(Value, 1)),
position = position_stack(vjust = 0.5),
size = 3, color = "black") +
facet_wrap(~Gender, scales = "free_x") +
scale_fill_manual(values = custom_colors) +
ggtitle("Dekomponering af Snout (Length) opdelt efter køn") +
ylab("cm") +
theme_minimal()
# ---- Plot WEIGHT ----
ggplot(df_weight, aes(x = ID, y = Value, fill = Component)) +
geom_bar(stat = "identity") +
geom_text(aes(label = round(Value, 1)),
position = position_stack(vjust = 0.5),
size = 3, color = "black") +
facet_wrap(~Gender, scales = "free_x") +
scale_fill_manual(values = custom_colors) +
ggtitle("Dekomponering af Weight opdelt efter køn") +
ylab("kg") +
theme_minimal()
4. Multivariat inferens
(Hotelling’s T² test: H₀: μ_female = μ_male)
4.1 Hotelling’s T² test * Hotelling’s T² test for forskel i middelvektor:
- \(H_0: \mu_{\text{female}} = \mu_{\text{male}}\)
- \(H_A: \mu_{\text{female}} \ne \mu_{\text{male}}\)
- Hvis signifikant → fortsæt med simultane CI’er
# Udtræk data for hver gruppe (kun numeriske kolonner)
Xf <- T6.19[T6.19$Gender == "Female", 1:2] # Snout og Weight
Xm <- T6.19[T6.19$Gender == "Male", 1:2]
# Gruppestørrelser
n1 <- nrow(Xf)
n2 <- nrow(Xm)
p <- ncol(Xf) # Antal variable
# Gruppemiddelværdier
xbar1 <- colMeans(Xf)
xbar2 <- colMeans(Xm)
# Pooled kovariansmatrix
S1 <- cov(Xf)
S2 <- cov(Xm)
Spooled <- ((n1 - 1)*S1 + (n2 - 1)*S2)/(n1 + n2 - 2)
# Hotelling’s T² teststørrelse
T2 <- (n1 * n2) / (n1 + n2) * t(xbar1 - xbar2) %*% solve(Spooled) %*% (xbar1 - xbar2)
# Kritisk værdi og p-værdi
F_crit <- ((n1 + n2 - 2) * p / (n1 + n2 - p - 1)) * qf(0.95, p, n1 + n2 - p - 1)
F_val <- ((n1 + n2 - p - 1) * T2) / ((n1 + n2 - 2) * p)
p_val <- 1 - pf(F_val, p, n1 + n2 - p - 1)
# Udskriv resultat
cat("Hotelling’s T² test:\n")## Hotelling’s T² test:cat("T² =", round(T2, 4), "\n")## T² = 76.9153cat("F =", round(F_val, 4), "\n")## F = 37.7455cat("p-værdi =", format.pval(p_val, digits = 5), "\n")## p-værdi = 0.000000000064296Hotelling’s T² test undersøger, om der er en samlet forskel i middelvektorerne for Snout Length og Weight mellem hunner og hanner.
Da p-værdien er ekstremt lav (p ≪ 0.05), forkaster vi nulhypotesen H₀: μ_female = μ_male.
Konklusion: Der er en signifikant multivariat forskel på længde og vægt mellem de to køn.4.2 Generaliseret stikprøvevarians (|S|)
Generaliseret stikprøvevarians (|S|) for poolet kovariansmatrix
Total Spredning i Flere Dimensioner (|S|)
Multivariat Spredning: Determinant af Spooled
kovariansstruktur: Generaliseret Varians
Determinant af Spooled Matrix – Mål for Multivariat Spredning
|S| som Mål for Volumen af Dataspredning
(relevant for Hotelling’s T² og Mahalanobis-afstand)
# 1. Generaliseret stikprøvevarians for pooled matrix
Xf <- T6.19[T6.19$Gender == "Female", 1:2]
Xm <- T6.19[T6.19$Gender == "Male", 1:2]
n1 <- nrow(Xf); n2 <- nrow(Xm)
S1 <- cov(Xf); S2 <- cov(Xm)
Spooled <- ((n1 - 1)*S1 + (n2 - 1)*S2)/(n1 + n2 - 2)
# Determinant = generaliseret varians
gen_var <- det(Spooled)
cat("Generaliseret stikprøvevarians (|S|):", round(gen_var, 4))## Generaliseret stikprøvevarians (|S|): 86170.38Fortolkning
Ekstra fortolkning til posteren:
cat("\n|S| udtrykker den samlede multivariate variation og volumen i datasættet.\n",
"En høj værdi indikerer stor spredning i både længde og vægt.\n")##
## |S| udtrykker den samlede multivariate variation og volumen i datasættet.
## En høj værdi indikerer stor spredning i både længde og vægt.|S| udtrykker den samlede multivariate variation og volumen i datasættet. En høj værdi indikerer stor spredning i både længde og vægt.
cat("Generaliseringen |S| = |D| ⋅ |R| viser, at varians og korrelation sammen bestemmer spredningens volumen.\n")## Generaliseringen |S| = |D| ⋅ |R| viser, at varians og korrelation sammen bestemmer spredningens volumen.cat("Bemærk: Determinanten af Spooled-matrixen fungerer som en generaliseret stikprøvevarians.\n",
"En lav værdi tyder på høj korrelation mellem variablerne, mens en høj værdi tyder på større uafhængighed.\n")## Bemærk: Determinanten af Spooled-matrixen fungerer som en generaliseret stikprøvevarians.
## En lav værdi tyder på høj korrelation mellem variablerne, mens en høj værdi tyder på større uafhængighed.|S| måler samlet spredning. Lav værdi → høj korrelation. Høj værdi → større uafhængighed.
4.3 Visualisering: Hotelling’s T²-ellipse
#Grafisk med ellipse pakken
library(ellipse)##
## Attaching package: 'ellipse'## The following object is masked from 'package:car':
##
## ellipse## The following object is masked from 'package:graphics':
##
## pairs# Brug Spooled og center i forskellen mellem køn
Xf <- T6.19[T6.19$Gender == "Female", 1:2]
Xm <- T6.19[T6.19$Gender == "Male", 1:2]
xbar1 <- colMeans(Xf)
xbar2 <- colMeans(Xm)
diff_mean <- xbar1 - xbar2
n1 <- nrow(Xf); n2 <- nrow(Xm)
Spooled <- ((n1 - 1)*cov(Xf) + (n2 - 1)*cov(Xm))/(n1 + n2 - 2)
n <- (n1 * n2) / (n1 + n2)
alpha <- 0.05
p <- 2
T2_crit <- ((n1 + n2 - 2) * p / (n1 + n2 - p - 1)) * qf(1 - alpha, p, n1 + n2 - p - 1)
# Plot
plot(ellipse(Spooled / n, centre = diff_mean, level = 1 - alpha,
t = sqrt(T2_crit)), type = "l", col = "darkblue",
xlab = "Snout Vent Length (cm)", ylab = "Weight (kg)",
main = "Hotelling’s T² Ellipse (Volumen ≈ |S|)")
points(0, 0, pch = 4, col = "red")
text(0, 0, "0", pos = 1, cex = 0.8)
# Grafisk uden ellipse pakken
# Parametre
xbar1 <- colMeans(Xf)
xbar2 <- colMeans(Xm)
diff_mean <- xbar1 - xbar2
n <- (n1 * n2) / (n1 + n2)
alpha <- 0.05
p <- 2
T2_crit <- ((n1 + n2 - 2) * p / (n1 + n2 - p - 1)) * qf(1 - alpha, p, n1 + n2 - p - 1)
# Generér ellipse uden ellipse-pakke
theta <- seq(0, 2*pi, length.out = 200)
circle <- cbind(cos(theta), sin(theta))
A <- chol(Spooled / n * T2_crit)
ellipse_coords <- t(diff_mean + t(circle %*% A))
# Plot
plot(ellipse_coords, type = "l", lwd = 2, col = "black",
xlab = "Snout Vent Length (cm)", ylab = "Weight (kg)",
main = "Hotelling’s T² Ellipse (uden ellipse-pakke)")
points(0, 0, col = "blue", pch = 19)
text(0, 0, "0", pos = 1)
points(diff_mean[1], diff_mean[2], pch = 19, col = "darkblue")
#text(diff_mean[1], diff_mean[2], "M1 - M2", pos = 4, col = "darkblue")
text(diff_mean[1], diff_mean[2], expression(mu[1] - mu[2]), pos = 4, col = "darkblue")
🔍 Punktet “M1 - M2” repræsenterer forskellen mellem de to gruppers stikprøvegennemsnit. Hvis dette punkt falder uden for T²-ellipsen, tyder det på en signifikant forskel i middelværdierne.
✅ Kort opsummering til posteren:
Den sorte ellipse repræsenterer området for ikke-signifikante differenser i middelvektorer mellem de to køn.
Da det blå punkt (μ₁ − μ₂) falder uden for ellipsen, forkastes H₀ → der er en signifikant forskel.4.4 Mannova (Simpel med wilks)
# Multivariat variansanalyse (MANOVA)
model_manova <- manova(cbind(`Snout Vent Length (cm)`, `Weight (kg)`) ~ Gender, data = T6.19)
# Samlet test med summary
summary(model_manova, test = "Wilks")## Df Wilks approx F num Df den Df Pr(>F)
## Gender 1 0.41248 37.745 2 53 0.0000000000643 ***
## Residuals 54
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Kort forklaring til posteren (valgfrit)
Der blev udført en multivariat variansanalyse (MANOVA) for at teste, om der er en samlet forskel i længde og vægt mellem hanner og hunner.
Wilks’ lambda-test viste en meget signifikant forskel (p < 2.2e-16), hvilket bekræfter resultaterne fra de univariate t-tests.4.4b Mannova med Bartletts korrektion
library(dplyr)
# Data: responsvariabler og grupper
Y <- T6.19[, 1:2] # Snout & Weight
group <- T6.19$Gender
n1 <- sum(group == "Female")
n2 <- sum(group == "Male")
g <- 2
p <- ncol(Y)
n_total <- nrow(Y)
# Fit MANOVA-model
fit <- manova(as.matrix(Y) ~ group)
# Kort metode – direkte Wilks-test
summary(fit, test = "Wilks")## Df Wilks approx F num Df den Df Pr(>F)
## group 1 0.41248 37.745 2 53 0.0000000000643 ***
## Residuals 54
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1# Lang metode – Udtræk SSCP-matricer
B <- summary(fit)$SS$group
W <- summary(fit)$SS$Residuals
T_mat <- B + W
# Frihedsgrader
df1 <- p * (g - 1) # for behandling
df2 <- p * (n_total - g) # for residualer
# Wilks' lambda
lambda <- det(W) / det(T_mat)
# Chi-i-anden Bartletts korrektion (Resultat 6.8 / 6.43)
m <- (n1 + n2 - 2) - (p + g) / 2
chi2_stat <- -m * log(lambda)
chi2_crit <- qchisq(0.95, df1)
pval_chi2 <- pchisq(chi2_stat, df1, lower.tail = FALSE)
# Udskriv resultater
cat("Wilks’ lambda: ", round(lambda, 4), "\n")## Wilks’ lambda: 0.4125cat("Chi²-test (Bartletts korrektion):\n")## Chi²-test (Bartletts korrektion):cat("Teststatistik:", round(chi2_stat, 3), "\n")## Teststatistik: 46.049cat("Kritisk værdi (χ², 95%, df =", df1, "):", round(chi2_crit, 3), "\n")## Kritisk værdi (χ², 95%, df = 2 ): 5.991cat("p-værdi:", signif(pval_chi2, 4), "\n")## p-værdi: 0.0000000001001cat("Konklusion: ", ifelse(pval_chi2 < 0.05, "Forkast H₀ – Køn påvirker mindst én af variablerne.", "Forkast ikke H₀ – Ingen forskel."), "\n")## Konklusion: Forkast H₀ – Køn påvirker mindst én af variablerne.📌 MANOVA-resultat (ud fra Bartletts korrektion)
Wilks’ λ = 0.4125
χ² = 46.05, kritisk χ² = 5.99, df = 2
p < 0.0000000001✅ Konklusion: Forkast H₀ — køn har signifikant indflydelse på mindst én af variablerne (Snout Length eller Weight).
SAmlet konklusion på MANNVA:
📌 Kort fortolkning til posteren (tekst)
MANOVA: Multivariat variansanalyse
Undersøger om middelvektorerne for Snout Length og Weight er ens mellem hunner og hanner:
H₀: μ<sub>female</sub> = μ<sub>male</sub>
H₁: μ<sub>female</sub> ≠ μ<sub>male</sub>
Resultat:
Wilks’ λ = 0.4125
F(2, 53) = 37.745, p < 0.0000000001
χ² = 46.05, kritisk χ² = 5.99, df = 2
p < 0.0000000001
✅ Begge tests fører til samme konklusion:
Forkast H₀ — køn påvirker signifikant mindst én af variablerne (snout eller vægt eller begge).5. Test for kovariansmatricer (Box’s M test)
# Box’s M test for lighed i kovariansmatricer
# Forudsæt: T6.19 har kolonner: Snout Vent Length (cm), Weight (kg), Gender
library(dplyr)
# Del op efter køn
Xf <- T6.19 %>%
filter(Gender == "Female") %>%
dplyr::select(`Snout Vent Length (cm)`, `Weight (kg)`)
Xm <- T6.19 %>%
filter(Gender == "Male") %>%
dplyr::select(`Snout Vent Length (cm)`, `Weight (kg)`)
n1 <- nrow(Xf)
n2 <- nrow(Xm)
p <- ncol(Xf)
g <- 2
n_total <- n1 + n2
# Kovariansmatricer
S1 <- cov(Xf)
S2 <- cov(Xm)
# Determinanter
detS1 <- det(S1)
detS2 <- det(S2)
# Spooled
Spooled <- ((n1 - 1) * S1 + (n2 - 1) * S2) / (n_total - g)
detSpooled <- det(Spooled)
# Box's M test statistik
M <- (n1 - 1) * log(detSpooled / detS1) + (n2 - 1) * log(detSpooled / detS2)
# Korrektionsfaktor
u <- ((1 / (n1 - 1)) + (1 / (n2 - 1)) - (1 / (n_total - g))) *
(2 * p^2 + 3 * p - 1) / (6 * (p + 1) * (g - 1))
C <- (1 - u) * M
df <- p * (p + 1) * (g - 1) / 2
pval <- pchisq(C, df, lower.tail = FALSE)
# Resultat
cat("Box’s M test:\n")## Box’s M test:cat("Teststatistik:", round(C, 3), "\n")## Teststatistik: 100.325cat("Frihedsgrader:", df, "\n")## Frihedsgrader: 3cat("p-værdi:", signif(pval, 4), "\n")## p-værdi: 0.000000000000000000001323cat("Konklusion: ", ifelse(pval < 0.05,
"Forkast H₀ – kovariansmatricerne er forskellige.",
"Forkast ikke H₀ – antag ens kovariansmatricer."), "\n")## Konklusion: Forkast H₀ – kovariansmatricerne er forskellige.📌 2. Fortolkning til posteren (Box’s M-test)
Box’s M-test undersøger, om varians-/kovariansstrukturen er ens mellem grupperne — her: hunner og hanner. Hypoteser:
H₀: Kovariansmatricerne for de to køn er ens
H₁: Mindst én gruppe har en anden kovariansstrukturResultat:
Teststatistik: 100.325
Frihedsgrader: 3
p-værdi: < 0.0000000000000000000014✅ Konklusion: Da p-værdien er langt under 0.05, forkastes H₀. Der er signifikant forskel i kovariansmatricerne — dvs. variabiliteten i længde og vægt varierer mellem hunner og hanner.
6. Simultane konfidensintervaller
(Ellipse + Bonferroni CI)
library(MASS)
# Del data
Xf <- T6.19[T6.19$Gender == "Female", 1:2]
Xm <- T6.19[T6.19$Gender == "Male", 1:2]
# Parametre
xbar1 <- colMeans(Xf)
xbar2 <- colMeans(Xm)
diff_mean <- xbar1 - xbar2
n1 <- nrow(Xf); n2 <- nrow(Xm)
p <- ncol(Xf)
n <- (n1 * n2) / (n1 + n2)
Spooled <- ((n1 - 1)*cov(Xf) + (n2 - 1)*cov(Xm)) / (n1 + n2 - 2)
# Kritiske værdier
alpha <- 0.05
t_crit <- qt(1 - alpha/(2*p), df = n1 + n2 - 2) # Bonferroni
T2_crit <- ((n1 + n2 - 2)*p / (n1 + n2 - p - 1)) * qf(1 - alpha, p, n1 + n2 - p - 1) # T²
# Bonferroni-interval (rektangel)
margin <- t_crit * sqrt(diag(Spooled) / n)
rect_coords <- rbind(
diff_mean + c(-margin[1], -margin[2]),
diff_mean + c( margin[1], -margin[2]),
diff_mean + c( margin[1], margin[2]),
diff_mean + c(-margin[1], margin[2]),
diff_mean + c(-margin[1], -margin[2])
)
# T²-ellipse
theta <- seq(0, 2*pi, length.out = 200)
circle <- cbind(cos(theta), sin(theta))
A <- chol(Spooled / n * T2_crit)
ellipse_coords <- t(diff_mean + t(circle %*% A))
# Plot
plot(ellipse_coords, type = "l", col = "blue", lwd = 2,
xlab = "Snout Vent Length (cm)", ylab = "Weight (kg)",
main = "Konfidensellipse (T²) og Bonferroni-rektangel")
lines(rect_coords, col = "red", lty = 2, lwd = 2)
points(0, 0, pch = 4, col = "black")
text(0, 0, "0", pos = 1)
points(diff_mean[1], diff_mean[2], col = "blue", pch = 19)
text(diff_mean[1], diff_mean[2], expression(mu[1] - mu[2]), pos = 4, cex = 0.8)
legend("topright", legend = c("T²-ellipse", "Bonferroni-interval"),
col = c("blue", "red"), lty = c(1, 2), lwd = 2)
🧠 2. Fortolkning – til posteren
📌 Konfidensellipse og -rektangel
Vi sammenligner forskellen mellem hunner og hanner ift. både længde og vægt.
To konfidensområder vises:
🔵 Ellipse (Hotelling’s T²): Multivariat konfidensområde
🔺 Rektangel (Bonferroni CI): To separate simultane konfidensintervaller
0,0-punktet repræsenterer ingen forskel mellem kønnene.
Da både ellipse og rektangel ikke indeholder 0,0 → vi har stærk evidens for forskel i mindst én variabel.7. Konklusion og fortolkning
📌 Diskussion og konklusioner
Gennem både univariate og multivariate analyser fandt vi klare tegn på, at køn har signifikant indflydelse på både Snout Length og Weight hos anacondaerne.
T-tests viste signifikante forskelle i både længde og vægt mellem hunner og hanner (p ≪ 0.05).
Violinplots og boxplots understøttede disse resultater visuelt med tydelig adskillelse mellem kønnene.
Hotelling’s T²-test og MANOVA bekræftede, at forskellen i middelvektorer er signifikant (Wilks' λ = 0.4125, p < 0.0000000001).
Simultane konfidensintervaller (Bonferroni og T²-ellipse) viste begge, at nulpunktet (0,0) ikke ligger inde i intervallerne → dvs. vi kan med høj sikkerhed afvise, at der ikke er forskel.
Box’s M-test viste, at variansen og kovariansstrukturen ikke er ens mellem kønnene (p < 0.000000000001), hvilket understreger forskellene yderligere.🔍 Overordnet set konkluderer vi:
Der er statistisk belæg for, at køn har en signifikant effekt på både længde og vægt hos anacondaerne, og denne effekt ses både i gennemsnit, variation og kovariansstruktur.Disse resultater bør tages i betragtning i biologisk forskning, fx ved artsopdeling, vækststudier eller populationsanalyse.